Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą przewidywań
Przykład 1:
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu równań
\( x^ {\prime}(t)=\begin{bmatrix} x_1^ {\prime}(t) \\ x_2^ {\prime}(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 &3\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 \\ e^t\end{bmatrix} \)
metodą przewidywań.
Rozwiązaniem ogólnym \( \hskip 0.3pc x_c(t)\hskip 0.3pc \) równania jednorodnego
\( x^{\prime}(t)=\begin{bmatrix}x_1^ {\prime}(t) \\ x_2^ {\prime}(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t)\end{bmatrix} \)
\( \begin{aligned}x_c(t)=&e^{tA}\cdot C =\begin{bmatrix}\frac{2}{3}e^t+\frac{1}{3}e^{4t}&-\frac{1}{3}e^t+\frac{1}{3}e^{4t}\\-\frac{2}{3}e^t+\frac{2}{3}e^{4t}&\frac{1}{3}e^t+\frac{2}{3}e^{4t} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}c_1\\ c_2\end{bmatrix}=\\ &\begin{bmatrix}\left( \frac{2}{3}e^t+\frac{1}{3}e^{4t}\right)c_1 +\left( -\frac{1}{3}e^t+\frac{1}{3}e^{4t}\right)c_2 \\ \left( -\frac{2}{3}e^t+\frac{2}{3}e^{4t}\right)c_1 +\left( \frac{1}{3}e^t+\frac{2}{3}e^{4t}\right) c_2 \end{bmatrix}\end{aligned} \)
Funkcję \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \) można zapisać następująco:
\( f(t)=\begin{bmatrix}1 \\ e^t\end{bmatrix}=f_1(t)+f_2(t), \hskip 0.7pc {\rm gdzie} \hskip 0.7pc f_1(t)=\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}=e^{0t}\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}, \hskip 0.7pc f_2(t)=e^{t}\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}. \)
Szukamy rozwiązania szczególnego dla następującego układu równań
\( \begin{bmatrix} x_1^ {\prime}(t) \\ x_2^ {\prime}(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}. \)
Ponieważ liczba \( \hskip 0.3pc 0,\hskip 0.3pc \) czyli współczynnik przy \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) w funkcji wykładniczej, nie jest wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pc A,\hskip 0.3pc \) to szukamy rozwiązania szczególnego układu ( 2 ) w postaci:
\( x_{p_1}(t)=\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2\end{bmatrix}. \)
\( \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2a_1+a_2+1 \\ 2a_1+3a_2\end{bmatrix}. \)
\( \begin{cases}2a_1+a_2=-1 & \\ 2a_1+3a_2=0 &\end{cases} \)
\( x_{p_1}(t)=\begin{bmatrix}-\frac{3}{4} \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}. \)
Teraz szukamy rozwiązania szczególnego dla układu równań
\( \begin{bmatrix} x_1^ {\prime}(t) \\ x_2^ {\prime}(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}e^t. \)
Ponieważ liczba \( \hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc \) - współczynnik przy \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) w funkcji wykładniczej, jest wartością własną jednokrotną macierzy \( \hskip 0.3pc A,\hskip 0.3pc \) to szukamy rozwiązania szczególnego układu ( 3 ) w postaci:
\( x_{p_2}(t)=\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2\end{bmatrix}te^t+\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2\end{bmatrix}e^t. \)
Po zróżniczkowaniu \( \hskip 0.3pc x_{p_2}(t)\hskip 0.3pc \) i podstawieniu do ( 3 ) otrzymujemy
\( \left(\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2\end{bmatrix}(t+1)+\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2\end{bmatrix}\right) e^t=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}\cdot \left( \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2\end{bmatrix}t+\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2\end{bmatrix}\right)e^t+ \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}e^t. \)
\( \begin{aligned}\begin{bmatrix}a_1t+a_1+b_1 \\ a_2t+a_2+b_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(2a_1+a_2)t+2b_1+b_2 \\ (2a_1+3a_2)t+2b_1+3b_2+1\end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix}(a_1+a_2)t+b_1+b_2-a_1 \\ (2a_1+2a_2)t+2b_1+2b_2-a_2+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}.\end{aligned} \)
Stąd dostajemy układ równań:
\( \begin{cases}a_1+a_2=0 & \\-a_1+b_1+b_2=0 &\\ 2a_1+2a_2=0& \\-a_2+2b_1+2b_2=-1 &\end{cases}, \)
\( x_{p_2}(t)=\begin{bmatrix}-\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}\end{bmatrix}te^t+\begin{bmatrix}-\frac{1}{3} \\ 0\end{bmatrix}e^t. \)
\( \begin{aligned}x(t)=&x_c(t)+x_{p_1}(t)+x_{p_2}(t)=\begin{bmatrix}\left( \frac{2}{3}e^t+\frac{1}{3}e^{4t}\right)c_1 +\left( -\frac{1}{3}e^t+\frac{1}{3}e^{4t}\right)c_2 \\ \left( -\frac{2}{3}e^t+\frac{2}{3}e^{4t}\right)c_1 +\left( \frac{1}{3}e^t+\frac{2}{3}e^{4t}\right) c_2 \end{bmatrix}+\\&\begin{bmatrix}-\frac{3}{4} \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{bmatrix}te^t+\begin{bmatrix}-\frac{1}{3} \\ 0\end{bmatrix}e^t.\end{aligned} \)
Przykład 2:
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu równań
gdzie
Równanie jednorodne
jest rozważane w Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są jednokrotne, ale nie wszystkie rzeczywiste-1. Jednokrotnymi wartościami własnymi macierzy \( \hskip 0.3pc A \hskip 0.3pc \) są \( \hskip 0.3pc \lambda_1=1,\hskip 0.6pc \lambda_2=1+i,\hskip 0.6pc \lambda_3=1-i\hskip 0.6pc \) i rozwiązanie ogólne układu jednorodnego jest wówczas postaci
Wyznaczamy rozwiązanie szczególne dla następującego układu równań
Ponieważ liczby \( \hskip 0.3pc i, \hskip 0.3pc -i\hskip 0.3pc \) nie są wartościami własnymi macierzy \( \hskip 0.3pc A,\hskip 0.3pc \) to szukamy rozwiązania szczególnego układu ( 5 ) w postaci:
Po zróżniczkowaniu \( \hskip 0.3pc x_{p_1}(t)\hskip 0.3pc \) i podstawieniu do ( 5 ) a następnie po przeniesieniu na lewą stronę otrzymujemy następującą tożsamość:
która jest prawdziwa dla dowolnego \( \hskip 0.3pc t,\hskip 0.3pc \) jeżeli \( \hskip 0.3pc a_{11},\hskip 0.3pc a_{12},\hskip 0.3pc a_{21},\hskip 0.3pc a_{22},\hskip 0.3pc a_{31},\hskip 0.3pc a_{32}\hskip 0.3pc \) spełniają układ równań
Rozwiązaniem powyższego układu jest
i wtedy rozwiązanie szczególne ma postać
Wyznaczamy teraz rozwiązanie szczególne dla następującego układu równań
Ponieważ liczba \( \hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc \) - współczynnik przy \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) w funkcji wykładniczej, jest jednokrotną wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pc A,\hskip 0.3pc \) to szukamy rozwiązania szczególnego układu ( 5 ) w postaci:
Po zróżniczkowaniu \( \hskip 0.3pc x_{p_2}(t)\hskip 0.3pc \) i podstawieniu do równania ( 6 ) oraz przeniesieniu na lewą stronę otrzymujemy następującą tożsamość:
która jest prawdziwa dla dowolnego \( \hskip 0.3pc t,\hskip 0.3pc \) jeżeli \( \hskip 0.3pc b_{11},\hskip 0.3pc b_{12},\hskip 0.3pc b_{21},\hskip 0.3pc b_{22},\hskip 0.3pc b_{31},\hskip 0.3pc b_{32}\hskip 0.3pc \) spełniają układ równań
którego rozwiazaniem jest \( \hskip 0.3pc b_{11}=2, \hskip 0.3pc b_{12}=0, \hskip 0.3pc b_{22}=-2\hskip 0.3pc b_{31}=\frac{1}{2}b_{21}, \hskip 0.3pc b_{32}=-1,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc b_{21}\hskip 0.3pc \) jest dowolną liczbą rzeczywistą. Przyjmując \( \hskip 0.3pc b_{21}=0,\hskip 0.3pc \) rozwiązanie szczególne układu ( 6 ) ma wtedy postać
Pozostaje nam wyznaczyć rozwiązanie szczególne dla układu równań
Po zróżniczkowaniu \( \hskip 0.3pc x_{p_2}(t)\hskip 0.3pc \) i podstawieniu do równania ( 7 ) otrzymujemy następujący układ równań
którego rozwiazaniem jest \( \hskip 0.3pc c_1=-\frac{5}{2}, \hskip 0.3pc c_2=-\frac{5}{2}, \hskip 0.3pc c_3=-\frac{1}{2}.\hskip 0.3pc \) Rozwiązanie szczególne układu ( 7 ) ma postać
\( x^ {\prime}(t)=A\cdot x(t)+f(t), \)
\( A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\-1&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}\hskip 1.2pc {\rm i} \hskip 1.2pc f(t)=\begin{bmatrix}2 \cos t +1 \\\sin t\\ e^t-2\end{bmatrix}. \)
\( x^{\prime}(t)=\begin{bmatrix} x_1^ {\prime}(t) \\ x_2^ {\prime}(t)\\x_3^{\prime} (t)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&-1&2\\-1&1&0\\-1&0&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t)\\x_3(t)\end{bmatrix} \)
\( x(t)=c_1\begin{bmatrix}0\\2 \\1\end{bmatrix}e^t+c_2\left(\begin{bmatrix}0\\1 \\1\end{bmatrix}\cos t- \begin{bmatrix}-1\\ 0 \\0\end{bmatrix}\sin t \right)e^t+c_3\left(\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}\sin t+\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}\cos t\right)e^t, \)
gdzie \( \hskip 0.3pc c_1,\hskip 0.3pc c_2\hskip 0.3pc {\rm i} \hskip 0.3pc c_3\hskip 0.3pc \) są to dowolne stałe, należące do zbioru liczb rzeczywistych.
Funkcję \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \) można zapisać następująco :
\( f(t)=\begin{bmatrix}2 \cos t +1 \\ \sin t\\ e^t-2\end{bmatrix}=f_1(t)+f_2(t)+f_3(t), \hskip 0.7pc {\rm gdzie} \hskip 0.7pc f_1(t)= \begin{bmatrix}2\cos t\\ \sin t\\ 0\end{bmatrix}, \hskip 0.5pc f_2(t)=e^{t}\begin{bmatrix}0 \\0\\ 1\end{bmatrix},\hskip 0.5pc f_3(t)=\begin{bmatrix}1 \\0\\ -2\end{bmatrix}. \)
\( x^ {\prime}(t)=\begin{bmatrix} x_1^{\prime}(t) \\ x_2^{\prime}(t) \\ x_3^{\prime} (t) \end{bmatrix}=A\cdot x(t)+f_1(t)= \begin{bmatrix}1&-1&2\\-1&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t)\\x_3(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\cos t\\ \sin t\\ 0\end{bmatrix}. \)
\( x_{p_1}(t)=\begin{bmatrix}a_{11} \\ a_{21}\\a_{31}\end{bmatrix}\cos t+\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\end{bmatrix}\sin t. \)
\( \begin{bmatrix}-2 - a_{11} + a_{12} + a_{21} - 2 a_{31}\\ a_{11} - a_{21} + a_{22}\\ a_{11} - a_{31} + a_{32}\end{bmatrix}\cos t+\begin{bmatrix}- a_{11} - a_{12} +a_{22} - 2 a_{32} \\ - 1 + a_{12} - a_{21} - a_{22}\\a_{12} - a_{31} - a_{32} \end{bmatrix}\sin t=\begin{bmatrix}0\\0 \\0\end{bmatrix}, \)
\( \begin{cases} -2 - a_{11} + a_{12} + a_{21} - 2 a_{31}=0& \\a_{11} + a_{12} - a_{22} + 2 a_{32}=0&\\a_{11} - a_{21} + a_{22} =0&\\ 1 - a_{12} + a_{21} + a_{22}=0&\\ a_{11} - a_{31} + a_{32}=0&\\-a_{12} + a_{31} + a_{32} =0&\end{cases}. \)
\( a_{11}=-\frac{8}{5},\hskip 0.3pc a_{12}=\frac{1}{5},\hskip 0.3pc a_{21}=-\frac{6}{5},\hskip 0.3pc a_{22}=\frac{2}{5},\hskip 0.3pc a_{31}=-\frac{7}{10},\hskip 0.3pc a_{32}=\frac{9}{10} \)
\( x_{p_1}(t)=\begin{bmatrix}-\frac{8}{5} \\ -\frac{6}{5}\\-\frac{7}{10}\end{bmatrix}\cos t+\begin{bmatrix}\frac{1}{5} \\ \frac{2}{5}\\\frac{9}{10}\end{bmatrix}\sin t. \)
\( x^ {\prime}(t)=\begin{bmatrix} x_1^{\prime}(t) \\ x_2^{\prime}(t) \\ x_3^{\prime} (t) \end{bmatrix}=A\cdot x(t)+f_2(t)= \begin{bmatrix}1&-1&2\\-1&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t)\\x_3(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\ 0\\ e^t\end{bmatrix}. \)
\( x_{p_2}(t)=\left(\begin{bmatrix}b_{11} \\ b_{21}\\b_{31}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{12} \\ b_{22}\\b_{32}\end{bmatrix}t\right)e^t. \)
\( \begin{bmatrix}(b_{12} + b_{21} - 2 b_{31} +( b_{22} - 2 b_{32}) t\\ b_{11} + b_{22} + b_{12} t\\ -1 + b_{11} + b_{32} + b_{12} t\end{bmatrix}e^t=\begin{bmatrix}0\\0 \\0\end{bmatrix}, \)
\( \begin{cases}b_{12} + b_{21} - 2 b_{31} =0 & \\b_{11} + b_{22} =0&\\ -1 + b_{11} + b_{32}=0&\\ b_{22} - 2 b_{32}=0&\\ b_{12} =0& \end{cases}, \)
\( x_{p_2}(t)=\left(\begin{bmatrix}2\\ 0\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\ -2\\-1\end{bmatrix}t\right)e^t. \)
\( x^{\prime}(t)=\begin{bmatrix} x_1^{\prime}(t) \\ x_2^{\prime}(t) \\x_3^{\prime} (t) \end{bmatrix}=A\cdot x(t)+f_3(t)= \begin{bmatrix}1&-1&2\\-1&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t)\\x_3(t)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -2\end{bmatrix}. \)
Szukamy rozwiązania szczególnego układu ( 7 ) w postaci:
\( x_{p_3}(t)=\begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}. \)
\( \begin{cases}c_{1} -c_{2} - 2 c_{3} =-1 & \\-c_{1} + c_{2} =0&\\ - c_{1} + c_{3}=2&\end{cases}, \)
\( x_{p_3}(t)=\begin{bmatrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{5}{2} \\-\frac{1}{2} \end{bmatrix}. \)
Zatem rozwiązanie ogólne układu ( 4 ) jest następujące:
\( \begin{aligned}x(t)=&x_c(t)+x_{p_1}(t)+x_{p_2}(t)+x_{p_3}(t)=c_1\begin{bmatrix}0\\2 \\1\end{bmatrix}e^t+c_2\left(\begin{bmatrix}0\\1 \\1\end{bmatrix}\cos t- \begin{bmatrix}-1\\ 0 \\0\end{bmatrix}\sin t \right)e^t+\\&c_3\left(\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}\sin t+\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}\cos t\right)e^t + \begin{bmatrix}-\frac{8}{5} \\ -\frac{6}{5}\\-\frac{7}{10}\end{bmatrix}\cos t+\begin{bmatrix}\frac{1}{5} \\ \frac{2}{5}\\ \frac{9}{10}\end{bmatrix}\sin t+\left(\begin{bmatrix}2\\ 0\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\ -2\\-1\end{bmatrix}t\right)e^t+\begin{bmatrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{5}{2} \\-\frac{1}{2} \end{bmatrix}.\end{aligned} \)